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수학/ 부분 공간, 내적 공간, 노름 공간, 열-행공간

부분 공간(subspace)

•
FF-벡터공간 VV에 대한 부분집합 WW가 합과 스칼라 곱을 가진 FF-벡터공간일 때 WW를 VV의 부분공간(subspace)라고 한다.
•
부분집합 WW가 VV의 부분공간이기 위한 필요충분조건은 다음의 4가지 성질을 만족하는 것이다.
1.
모든 x,y∈W\bold{x, y} \in W에 대하여 x+y=W\bold{x} + \bold{y} = W이다. (WW는 덧셈에 대해 닫혀 있다.)
2.
모든 c∈Fc \in F와 모든 x∈W\bold{x} \in W에 대하여 cx∈Wc\bold{x} \in W이다. (WW는 스칼라 곱에 대해 닫혀 있다.)
3.
0∈W\bold{0} \in W
4.
WW에 속한 모든 벡터의 덧셈에 대한 역벡터는 WW의 원소이다.

직합(direct sum)

•
벡터공간 VV와 부분공간 W1,W2W_1, W_2에 대하여 W1∩W2={0}W_1 \cap W_2 = \{ \bold{0}\}이고 W1+W2=VW_1 + W_2 = V이면 는 W1W_1와 W2W_2의 직합이라 하고 아래와 같이 표기한다.
V=W1⊕W2V = W_1 \oplus W_2
•
유한차원 벡터공간 VV의 부분공간 W1,W2,...,WkW_1,W_2,...,W_k에 대하여 다음 조건은 동치이다.
1.
V=W1⊕W2⊕...⊕WkV= W_1 \oplus W_2 \oplus ... \oplus W_k
2.
V=∑i=1kWiV = \sum_{i=1}^{k} W_i이고 vi∈Wi (1≤i≤k)\bold{v}_i \in W_i \ (1 \leq i \leq k)인 임의의 v1,v2,...,vk\bold{v}_1, \bold{v}_2,..., \bold{v}_k에 대하여 v1+v2+...+vk=0\bold{v}_1 + \bold{v}_2 + ... + \bold{v}_k = \bold{0}일 때 모든 ii에 대하여 vi=0\bold{v}_i = \bold{0}
3.
모든 v∈V\bold{v} \in V마다 v=v1+v2+...+vk\bold{v} = \bold{v}_1 + \bold{v}_2 + ... + \bold{v}_k 꼴로 표현하는 방법이 유일하다. (이때 vi∈Wi\bold{v}_i \in W_i)
4.
Wi (1≤i≤k)W_i \ (1 \leq i \leq k)의 순서기저 γi\gamma_i에 대하여 γ1∪γ2∪...∪γk\gamma_1 \cup \gamma_2 \cup ... \cup \gamma_k는 VV의 순서기저이다.
5.
각 i=1,2,...,ki = 1, 2, ..., k에 대하여 γ1∪γ2∪...∪γk\gamma_1 \cup \gamma_2 \cup ... \cup \gamma_k가 VV의 순서기저가 되도록 하는 WiW_i의 순서기저 γi\gamma_i가 존재한다.

내적 공간(inner product space)

•
벡터 공간의 정의에는 내적이 정의되어 있지 않기 때문에 벡터 공간에 내적 연산(inner product)을 적용한 내적 공간(inner product space)을 정의한다.
•
FF-벡터공간 VV에 대해 VV에 정의된 내적(inner product) ⟨x,y⟩\langle \bold{x}, \bold{y} \rangle은 VV의 임의의 벡터 x\bold{x}와 y\bold{y}의 순서쌍을 스칼라(체 FF의 원소)에 대응시키는 조건을 만족한다.
◦
아래 식에 대해 x,y,z∈V\bold{x,y,z} \in V이고 c∈Fc \in F이다.
1.
⟨x+z,y⟩=⟨x,y⟩+⟨z,y⟩\langle \bold{x} + \bold{z,y} \rangle = \langle \bold{x,y} \rangle + \langle \bold{z,y}\rangle
2.
⟨cx,y⟩=c⟨x,y⟩\langle c\bold{x,y} \rangle = c\langle \bold{x,y} \rangle
3.
⟨x,y⟩=⟨y,x⟩‾\langle \bold{x,y}\rangle = \overline{\langle \bold{y,x} \rangle} (z‾\overline{\bold{z}}는 z\bold{z}의 켤레 복소수)
4.
x≠0\bold{x} \neq 0일 때, ⟨x,x⟩\langle \bold{x, x}\rangle는 양수이다.
•
실제 내적 연산 ⟨⋅,⋅⟩\langle \cdot, \cdot \rangle은 두 벡터에 다음과 같이 요소별 곱을 합하는 연산으로 정의 된다.
◦
두 번째 벡터에 대해서 켤레를 취하여 곱하는 것에 유의. 따라서 ⟨x,y⟩≠⟨y,x⟩\langle \bold{x,y}\rangle \ne \langle \bold{y,x} \rangle이다.
⟨x,y⟩=∑i=1Nxiyˉi\langle \bold{x,y} \rangle = \sum_{i=1}^{N} x_i \bar{y}_i
•
만일 두 벡터가 실수라면 벡터의 켤레는 자기 자신과 같으므로 다음과 같이 계산할 수 있고, ⟨x,y⟩=⟨y,x⟩\langle \bold{x,y}\rangle = \langle \bold{y,x} \rangle가 성립한다.
⟨x,y⟩=∑i=1Nxiyi\langle \bold{x,y} \rangle = \sum_{i=1}^{N} x_i y_i
•
내적공간 VV에서 벡터 x,y,z∈V\bold{x,y,z} \in V와 스칼라 c∈Fc \in F에 대해 다음이 성립한다.
1.
⟨x,y+z⟩=⟨x,y⟩+⟨x,z⟩\langle \bold{x, y + z} \rangle = \langle \bold{x,y} \rangle + \langle \bold{x,z}\rangle
2.
⟨x,cy⟩=c‾⟨x,y⟩\langle \bold{x}, c\bold{y} \rangle = \overline{c}\langle \bold{x,y} \rangle
3.
⟨x,0⟩=⟨0,x⟩=0\langle \bold{x, 0} \rangle = \langle \bold{0,x} \rangle = 0
4.
⟨x,x⟩=0⇔x=0\langle \bold{x, x} \rangle = 0 \Leftrightarrow \bold{x} = \bold{0}
5.
모든 x∈V\bold{x} \in V에 대해 ⟨x,y⟩=⟨x,z⟩\langle \bold{x, y} \rangle = \langle \bold{x,z} \rangle이면 y=z\bold{y} = \bold{z}

내적 계산 예

•
두 실수 벡터 x,y\bold{x,y}가 다음과 같을 때
x=[ab],y=[cd]\bold{x} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}, \bold{y} = \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}
•
내적은 다음과 같이 계산된다.
⟨x,y⟩=a⋅c+b⋅d\langle\bold{x}, \bold{y} \rangle = a \cdot c + b \cdot d
•
두 복소수 벡터 x,y\bold{x,y}가 다음과 같을 때
x=[a+bic+di],y=[e+fig+hi]\bold{x} = \begin{bmatrix} a + bi \\ c + di \end{bmatrix}, \bold{y} = \begin{bmatrix} e + fi \\ g + hi \end{bmatrix}
•
내적은 첫 번째 벡터 x\bold{x}와 두 번째 벡터의 켤레 y∗\bold{y}^*의 점곱(dot product)으로 계산된다.
⟨x,y⟩=x⋅y∗=(a+bi)(e−fi)+(c+di)(g−hi)=ae−afi+bei+bf+cg−chi+dgi+dh=(ae+bf+cg+dh)−(af−be+ch−dg)i\langle \bold{x}, \bold{y} \rangle = \bold{x} \cdot \bold{y}^* = (a+bi)(e-fi) + (c+di)(g-hi) \\ = ae - afi + bei + bf + cg - chi + dgi + dh \\ = (ae + bf + cg + dh) - (af - be + ch - dg)i

노름 공간(norm space)

•
내적 공간에 대해 다음의 노름(norm) 연산을 적용하여 노름 공간(norm space)를 정의한다. 노름은 일반적으로 길이(length)로 해석된다.
◦
엄밀히 말해 노름 공간은 내적과 독립적으로 벡터 공간의 하위로 정의할 수 있지만, 여기서는 연산의 편의상 내적 공간의 부분공간으로 정의한다.
∥x∥=⟨x,x⟩\|\bold{x}\| = \sqrt{\langle \bold{x,x}\rangle}
•
∥⋅∥\|\cdot\|는 벡터를 자기 자신과 내적(inner product) 한 후 제곱근을 취한 연산으로 ∥⋅∥:V→[0,∞)\|\cdot\| : V \to [0, \infty)가 된다.
•
FF-내적공간 VV에서 임의의 벡터 x,y∈V\bold{x,y} \in V와 스칼라 c∈Fc \in F에 대해 다음이 성립한다.
1.
모든 x\bold{x}에 대하여 ∥x∥≥0\|\bold{x}\| \geq 0
2.
∥x∥=0⇔x=0\|\bold{x}\| = 0 \Leftrightarrow \bold{x} = \bold{0}
3.
∥cx∥=∣c∣⋅∥x∥\|c\bold{x}\| = |c|\cdot\|\bold{x}\|
4.
코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz inequality) ∣⟨x,y⟩∣≤∥x∥⋅∥y∥|\langle \bold{x, y} \rangle | \leq \|\bold{x}\| \cdot \|\bold{y}\|
5.
삼각 부등식(triangle inequality) ∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥\|\bold{x} + \bold{y} \| \leq \|\bold{x} \| + \|\bold{y}\|

참조

•
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