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수학/ Conjugate Prior, Maximum Entropy Prior, Jeffreys Prior, Invariant Prior, Reference Prior

Conjugate Prior

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베이즈룰에서 prior, posterior, likelihood는 다음의 관계를 갖는다.
posterior∝prior×likelihood\text{posterior} \propto \text{prior} \times \text{likelihood}
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여기서 posterior와 piror가 같은 parameterized family (p(θ)∈F,p(θ∣D)∈Fp(\boldsymbol{\theta}) \in \mathcal{F}, p(\boldsymbol{\theta}|\mathcal{D}) \in \mathcal{F} 일 때, prior p(θ)p(\boldsymbol{\theta})를 likelihood p(D∣θ)p(\mathcal{D}|\boldsymbol{\theta})의 켤레(conjugate) prior라고 한다.
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다른 말로 F\mathcal{F}는 베이즈 업데이트에 대해 닫혀 있다.
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만일 F\mathcal{F}가 지수족(exponential family)라면 계산은 닫힌 형식으로 진행 가능하다.
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켤레 prior는 해석하기 쉽고, 계산하기 쉽지만, 대부분의 모델은 likelihood와 켤레를 이루는 지수족에 속하는 prior가 없거나, 있더라도 가정이 너무 제한적일 수 있다.

Maximum entropy prior

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uninformative prior를 정의하는 자연스러운 방법은 상태 공간에서 임의의 특정한 값에 최소한의 약속을 만드는 maximum entropy를 사용하는 것이다. 이것은 Laplace의 principle of insufficient reason의 형식화이다.
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이것은 하나의 prior를 다른 prior 보다 선호할 이유가 없으면 ‘flat’한 것을 고른다고 주장한다.
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예컨대 비율 θ∈[0,1]\theta \in [0,1]의 베르누이 분포의 경우 최대 엔트로피 prior는 직관적으로 균등 분포 p(θ)=Beta(θ∣1,1)p(\theta) = \text{Beta}(\theta|1,1)이다.
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그러나 어떤 경우에 확률 변수 θ\boldsymbol{\theta}에 대한 정보를 알고 있고, 이 제약조건과 일치하는 prior를 원한다. 그렇지 않으면 최대 엔트로피가 되기를 원한다.
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더 정확하게 특정한 feature나 함수의 기대값 fk(θ)f_k(\boldsymbol{\theta})이 어떤 알려진 수량 FkF_k와 일치하는 제약조건 하에서 최대 엔트로피를 갖는 분포 p(θ)p(\boldsymbol{\theta})를 찾기 원한다고 가정한다. 이것을 maxent prior라고 한다.

Jeffreys prior

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θ\theta를 prior pθ(θ)p_\theta(\theta)의 확률 변수라고 하자. ϕ=f(θ)\phi = f(\theta)를 θ\theta의 어떤 역 변환이라 하자. 이 함수 ff에 불변인 prior를 선택하여 posterior가 모델 파라미터화에 의존하지 않게 하려고 한다.
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예컨대 비율 파라미터 θ\theta의 베르누이 분포를 고려하자. Alice가 데이터 D\mathcal{D}에 binomial(이항) likelihood를 사용하여 p(θ∣D)p(\theta|\mathcal{D})를 계산한다고 가정하자.
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이제 Bob이 같은 likelihood와 data를 사용하지만 확률 파라미터 ϕ=θ1−θ\phi = {\theta \over 1-\theta}로 모델을 파라미터화 한다고 하자. 그는 change of variables formula을 사용하여 Alice의 prior를 p(ϕ)p(\phi)로 변환하고 p(ϕ∣D)p(\phi|\mathcal{D})를 계산한다. 그 다음 θ\theta 파라미터화로 되돌리면 그는 Alice와 같은 결과를 얻게 된다.
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이 목표를 Jeffreys prior를 사용하여 달성할 수 있다.
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1차원에서 Jeffreys prior는 p(θ)∝F(θ)p(\theta) \propto \sqrt{F(\theta)}로 주어진다. 여기서 FF는 Fisher information이다.
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다차원에서 Jeffreys prior는 p(θ)∝det⁡F(θ)p(\boldsymbol{\theta}) \propto \sqrt{\det \bold{F}(\boldsymbol{\theta})}의 형식을 갖는다. 여기서 F\bold{F}는 Fisher information matrix이다.

Invariant prior

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문제에 관한 ‘objective’ prior 지식을 가지면 이것을 불변량의 형식으로 prior에 인코딩할 수 있다.
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location-scale family는 location μ\mu와 scale σ\sigma로 파라미터화된 확률 분포의 family이다. xx가 이 family의 확률변수이면 y=a+bxy = a+bx도 같은 family의 확률 변수이다.

Translation-invariant priors

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위치 파라미터 μ\mu를 추론할 때, [A,B][A,B] 구간에 할당된 확률 질량이 [A−c,B−c][A-c,B-c]와 같이 같은 width의 다른 shifted 구간에 할당된 확률 질량과 동일하다는 속성을 만족하는 translation-invariant prior를 사용하는 것이 직관적으로 합리적이다. 즉,
∫A−cB−cp(μ)dμ=∫ABp(μ)dμ\int_{A-c}^{B-c} p(\mu)d\mu = \int_A^B p(\mu) d\mu
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이것은 다음을 이용해서 달성할 수 있다.
p(μ)∝1p(\mu) \propto 1
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이것은 알려지지 않은 평균 μ\mu와 고정된 분산의 가우시안에 대한 Jeffreys prior와 같다.

Scale-invariant prior

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scale 파라미터 σ\sigma를 추론할 때, 임의의 구간 [A,B][A,B]에 할당된 확률 질량이 다른 구간 [A/c,B/c][A/c,B/c]에 (여기서 c>0c>0) 할당된 것과 같은 속성을 만족하는 scale-invariant prior를 사용하기 원한다. 즉,
∫A/cB/cp(σ)dσ=∫ABp(σ)dσ\int_{A/c}^{B/c} p(\sigma)d\sigma = \int_A^B p(\sigma)d\sigma
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이것은 다음을 사용하여 달성할 수 있다.
p(σ)∝1/σp(\sigma) \propto 1 /\sigma
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이것은 고정된 평균 μ\mu와 알려지지 않은 scale σ\sigma의 가우시안에 대한 Jeffreys prior와 같다.

Reference prior

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noninformative prior를 정의하는 한 가지 방법은 데이터셋의 평균을 구했을 때 가능한 posterior로부터 최대한 멀리 있는 분포로 정의하는 것이다. 이것은 reference prior의 기본 아이디어이다.
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더 정확하게 p(θ)p(\boldsymbol{\theta})가 posterior와 prior 사이의 기대 KL divergence를 최대화하면 reference prior라고 할 수 있다.
p∗(θ)=arg max⁡p(θ)∫Dp(D)DKL(p(θ∣D)∥p(θ))dDp^*(\boldsymbol{\theta}) = \argmax_{p(\boldsymbol{\theta})} \int_\mathcal{D} p(\mathcal{D})D_{KL}(p(\boldsymbol{\theta}|\mathcal{D})\|p(\boldsymbol{\theta}))d\mathcal{D}
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여기서 p(D)=∫p(D∣θ)p(θ)dθp(\mathcal{D}) = \int p(\mathcal{D}|\boldsymbol{\theta})p(\boldsymbol{\theta})d\boldsymbol{\theta}. 이것은 상호 정보량 I(θ,D)\mathbb{I}(\boldsymbol{\theta},\mathcal{D})를 최대화하는 것과 같다.
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데이터셋에 대해 적분을 제거할 수 있는 방법은 다음과 같다.
∫p(D)∫p(θ∣D)log⁡p(θ∣D)p(θ)=∫p(θ)∫p(D∣θ)log⁡p(D∣θ)p(D)=Eθ[DKL(p(D∣θ)∥p(D))]\begin{aligned} \int p(\mathcal{D}) \int p(\boldsymbol{\theta}|\mathcal{D})\log{p(\boldsymbol{\theta}|\mathcal{D}) \over p(\boldsymbol{\theta})} &= \int p(\boldsymbol{\theta}) \int p(\mathcal{D}|\boldsymbol{\theta}) \log {p(\mathcal{D}|\boldsymbol{\theta}) \over p(\mathcal{D})} \\&= \mathbb{E}_{\boldsymbol{\theta}} [D_{KL}(p(\mathcal{D}|\boldsymbol{\theta})\|p(\mathcal{D}))] \end{aligned}
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여기서 p(θ∣D)p(θ)=p(D∣θ)p(D){p(\boldsymbol{\theta}|\mathcal{D}) \over p(\boldsymbol{\theta})}= {p(\mathcal{D}|\boldsymbol{\theta}) \over p(\mathcal{D})}이라는 사실을 이용했다.
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1차원에서 해당하는 prior가 Jeffreys prior와 같다는 것을 보일 수 있다. 고차원에서 체인 룰을 사용하여 한 번에 하나 파라미터에 대해 reference prior를 계산할 수 있다. 그러나 계산적으로 까다로울 수 있다.

참고

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