대수 구조
•
집합(set)
◦
아무런 연산이 부여되지 않은 대수구조
•
반 군(semi group)
◦
집합과 그 위의 결합법칙을 따르는 하나의 이항 연산을 갖춘 대수구조
•
모노이드(monoid)
◦
항등원을 갖는 반군
•
군(group)
◦
원을 갖는 모노이드
•
아벨군(abelian group) (가환군)
◦
교환법칙이 성립하는 군
◦
아벨군이 되면 1종류의 이항 연산에 대해 4개의 기본 연산을 만족하게 됨. (결합법칙/교환법칙/항등원/역원)
•
환(ring)
◦
덧셈에 대하여 아벨군, 곱셈에 대하여 반군을 이루고 분배법칙이 성립하는 대수구조
◦
환부터는 2종류의 이항 연산이 부여 됨.
◦
1종류의 이항 연산은 아벨군을 만족해야 하고, 나머지 1종류의 이항 연산은 반군을 만족 시켜야 함.
•
가 군(module)
◦
어떤 환의 원소에 대한 곱셈이 주어지며, 분배법칙이 성립하는 아벨군
◦
벡터공간은 가군의 한 종류
◦
가군은 환에서 원소를 받는게 기본이지만, 벡터공간은 보다 엄격하게 체에서 원소를 받아 온다.
•
가환 환(commutative ring)
◦
곱셈이 교환법칙을 만족하는 환
◦
환 중에 반군을 만족 시키는 나머지 1종류의 연산이 추가로 교환 법칙을 만족. 하지만 항등원과 역원은 존재하지 않는다.
•
나눗셈 환(division ring)
◦
0이 아닌 모든 원소가 역원을 가지며, 원소의 개수가 둘 이상인 환
◦
환 중에 반군을 만족 시키는 나머지 1종류의 연산이 항등원과 역원을 가짐. 하지만 교환 법칙은 만족하지 않는다.
•
체(field)
◦
가환환인 나눗셈환. 즉, 사칙연산이 자유로이 시행될 수 있고 산술의 잘 알려진 규칙들을 만족하는 대수구조
◦
2종류의 이항연산이 모두 4개의 기본연산을 만족 함.
•
보다 상세한 내용은 아래 링크 참조
수 종류
•
복소수(complex number)
◦
제곱해서 -1이 되는 를 가진 수 체계
◦
◦
체를 이룬다
•
2원수(dual number)
◦
제곱해서 0이 되는 을 가진 수 체계
◦
•
분할 복소수(split-complex number)
◦
제곱해서 1이 되는 를 가진 수 체계
◦
•
4원수(Quaternion)
◦
복소수를 확장한 체계로 제곱해서 -1이 되지만 서로 다른 를 가진 수 체계.
◦
◦
곱셉의 교환법칙이 성립하지 않기 때문에 체는 아니고 꼬인체라고 한다.
◦
만 가진 3원수는 존재하지 않는다고 한다. 환이 형성되지 않기 때문
◦
4원수를 더 확장해서 8원수, 16원수 등도 있지만 확장될 수록 점점 교환법칙, 결합법칙도 성립되지 않아서 무질서해지므로 큰 의미를 두지 않는다.
2원수와 분할 복소수를 보면 수학의 자유로움이 느껴진다. 8원수 이상의 확장도 그렇고 —가능하긴 하지만, 그것이 수학적 의미를 가지지 못하는 것도 인정함.
